lunes, 26 de octubre de 2015
Ejemplos de derivadas.
Extremos relativos
Sea
f(x) = x2 - 2x, con dominio [0, 4].
Aquí es su gráfica.
Mirando la gráfica, se observa que f tiene:
Sea
f(x) = x2 - 2x, con dominio [0, 4].
Aquí es su gráfica.
- Un máximo relativo a (0, 0);
- Un mínimo relativo a (1, - 1);
- Un máximo relativo a (4, 8).
Extremos absolutos
Sea otra vez
f(x) = x2 - 2x, con dominio [0, 4].
f(x) = x2 - 2x, con dominio [0, 4].
- Mirando a sus extremos relativos, observamos que:
- El máximo a (0, 0) no es un máximo absoluto;
- El mínimo a (1, -1) es un mínimo absoluto;
- El máximo a (4, 8) es un máximo absoluto.
Ubicando candidatos al extremos relativos
1. Vamos a mirar de nuevo la gráfica de f(x) = x2 - 2x, con dominio [0, 4].
Aceleración
Si t es tiempo en horas y la posición de un carro en el momento t es s(t) = t3 + 2t2 km, entonces:
Concavidad
Considere f(x) = x3 - 3x, cuya gráfica se ve más abajo.
Aquí está la gráfica de
2. Extremos relativos Los únicos extremos son los puntos estacionarios ubicando igualando f'(x) = 0 y despejando a x, dando x = 0 y x = - 4. Los puntos correspondientes en la gráfica son el máximo relativo a (0, 0) y el mínimo relativo a (- 4, 8/9).
3. Puntos de inflexión Solucionar f"(x) = 0 analíticamente es difícil, entonces podremos solucionarla numéricamente (haciendo la gráfica de la derivada segunda y estimando donde cruza el eje x). Observamos que el punto de inflexión está a x ;≈ -6.1072.
4. Comportamiento cerca puntos donde no se está definida la función La función no está definida a x = - 1 y x = 2. Los limites cuando x se acerca a estos valores a la derecha y a la izquierda se podremos deducir de la gráfica:
- El máximo relativo a (0,0) es un punto extremo.
- El mínimo absoluto a (1,-1) es un punto estacionario.
- El máximo absoluto a (4,8) es un punto extremo.
Aceleración, concavidad, y la derivada segunda
Si t es tiempo en horas y la posición de un carro en el momento t es s(t) = t3 + 2t2 km, entonces:
- Velocidad = v(t) = s'(t) = 3t2 + 4t km por hora.
Aceleración = a(t) = s" (t) = 6t + 4 km por hora por hora.
Considere f(x) = x3 - 3x, cuya gráfica se ve más abajo.
f"(x) = 6x es negativa cuando x < 0 y positiva cuando x > 0. La gráfica de f es cóncava hacia abajo cuando x < 0 y cóncava hacia arriba cuando x > 0. f tiene un punto de inflexión a x = 0, donde la segunda derivada es 0.
Análisis de las gráficas
- F(x) = x² / (x+1)(x-2)
2. Extremos relativos Los únicos extremos son los puntos estacionarios ubicando igualando f'(x) = 0 y despejando a x, dando x = 0 y x = - 4. Los puntos correspondientes en la gráfica son el máximo relativo a (0, 0) y el mínimo relativo a (- 4, 8/9).
3. Puntos de inflexión Solucionar f"(x) = 0 analíticamente es difícil, entonces podremos solucionarla numéricamente (haciendo la gráfica de la derivada segunda y estimando donde cruza el eje x). Observamos que el punto de inflexión está a x ;≈ -6.1072.
4. Comportamiento cerca puntos donde no se está definida la función La función no está definida a x = - 1 y x = 2. Los limites cuando x se acerca a estos valores a la derecha y a la izquierda se podremos deducir de la gráfica:
| x | lim → | -1- | f(x) | = | +∞ |
| x | lim → | -1+ | f(x) | = | -∞ |
| x | lim → | 2- | f(x) | = | -∞ |
| x | lim → | 2+ | f(x) | = | +∞ |
| x | lim → | - ∞ | f(x) | = | 1 |
| x | lim → | +∞ | f(x) | = | 1. |
¿Cuales son sus aplicaciones?
Extremos relativos
La función f tiene un máximo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño)
conteniendo c para el cual f(c) ≥ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida.
f tiene un mínimo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≤ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida.
Un extremo relativo, significa un máximo relativo o un mínimo relativo.
La siguiente gráfica muestra unos extremos relativos:
Extremos absolutos
Extremos relativos a veces pueden ser extremos absolutos, como demuestra la siguiente definición:
f tiene un máximo absoluto a c si f(c) ≥ f(x) para toda x en el dominio de f.
f tiene un mínimo absoluto a c si f(c) ≤ f(x) para toda x en el dominio de f.
La siguiente figura muestra dos extremos relativos que están también extremos absolutos.
Ubicando candidatos al extremos relativos
Si f es continua en su dominio y diferenciable a cada punto de su dominio con la posible excepción de unos puntos apartados, entonces sus extremos relativos ocurren entre los siguientes tipos de puntos:
La función f tiene un máximo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño)
conteniendo c para el cual f(c) ≥ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida.
Un extremo relativo, significa un máximo relativo o un mínimo relativo.
La siguiente gráfica muestra unos extremos relativos:
Extremos absolutos
Extremos relativos a veces pueden ser extremos absolutos, como demuestra la siguiente definición:
f tiene un máximo absoluto a c si f(c) ≥ f(x) para toda x en el dominio de f.
f tiene un mínimo absoluto a c si f(c) ≤ f(x) para toda x en el dominio de f.
La siguiente figura muestra dos extremos relativos que están también extremos absolutos.
Ubicando candidatos al extremos relativos
Si f es continua en su dominio y diferenciable a cada punto de su dominio con la posible excepción de unos puntos apartados, entonces sus extremos relativos ocurren entre los siguientes tipos de puntos:
- Puntos estacionarios: Puntos x en el dominio con f'(x) = 0. Para ubicar puntos estacionarios, haga que f'(x) = 0 y despeje x.
- Puntos singulares: Puntos x en el dominio donde f'(x) no está definida. Para ubicar puntos singulares, determine valores x donde f'(x) no está definida, pero f(x) sí está definida.
- Puntos extremos: Los puntos extremos del dominio, si es que los hay. Recuerde que los intervalos cerrados contienen los puntos extremos, pero intervalos abiertos no los contienen.
Aceleración, concavidad, y la derivada segunda
Aceleración
La aceleración de un objeto en movimiento es la derivada de su velocidad: esto es, la segunda derivada (derivada de la derivada) de su función de posición.
Concavidad
Una curva es cóncava hacia arriba si su pendiente es creciente, en cuyo caso la derivada segunda es positiva. Una curva es cóncava hacia abajo si su pendiente es decreciente, en cuyo caso la derivada segunda es negativa. Un punto donde la gráfica de f cambia de estar cóncava hacia arriba a estar cóncava hacia abajo , o viceversa, se llama unpunto de inflexión. a un punto de inflexión, la segunda derivada puede ser cero o indefinida.
Análisis de las gráficas
Características de una gráfica
1. Las intersecciones en x y y Si y = f(x), se calcula la o las intersecciones en x igualando y = 0 y despejando a x; se calcula la intercessión en y igualando x = 0.
2. Extremos relativos Se usa las técnicas descritas más arriba para ubicar candidatos al extremos relativos.
3. Puntos de inflexión Se mete f"(x) = 0 y despeja a x para ubicar candidatos al puntos de inflexión.
4. Comportamiento cerca puntos donde no se está definida la función Si f(x) no está definida a x = a, se considera limx → a- f(x) y limx → a+ f(x) para ver como se acerca este punto la gráfica de f.
5. Comportamiento al infinito Se considera limx → -∞ f(x) y limx → +∞ f(x) si apropiado, para ver como comporta la gráfica de f cuando x se aleja hacia la izquierda y la derecha.
La aceleración de un objeto en movimiento es la derivada de su velocidad: esto es, la segunda derivada (derivada de la derivada) de su función de posición.
Concavidad
Una curva es cóncava hacia arriba si su pendiente es creciente, en cuyo caso la derivada segunda es positiva. Una curva es cóncava hacia abajo si su pendiente es decreciente, en cuyo caso la derivada segunda es negativa. Un punto donde la gráfica de f cambia de estar cóncava hacia arriba a estar cóncava hacia abajo , o viceversa, se llama unpunto de inflexión. a un punto de inflexión, la segunda derivada puede ser cero o indefinida.
Análisis de las gráficas
Características de una gráfica
1. Las intersecciones en x y y Si y = f(x), se calcula la o las intersecciones en x igualando y = 0 y despejando a x; se calcula la intercessión en y igualando x = 0.
2. Extremos relativos Se usa las técnicas descritas más arriba para ubicar candidatos al extremos relativos.
3. Puntos de inflexión Se mete f"(x) = 0 y despeja a x para ubicar candidatos al puntos de inflexión.
4. Comportamiento cerca puntos donde no se está definida la función Si f(x) no está definida a x = a, se considera limx → a- f(x) y limx → a+ f(x) para ver como se acerca este punto la gráfica de f.
5. Comportamiento al infinito Se considera limx → -∞ f(x) y limx → +∞ f(x) si apropiado, para ver como comporta la gráfica de f cuando x se aleja hacia la izquierda y la derecha.
¿Que es una derivada?
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| Pendiente de una recta tangente a la curva en un punto determinado. |
La derivada aplicada en una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el limite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
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