Ejemplos de derivadas.

Extremos relativos

Sea

f(x) = x² - 2x,   con dominio [0, 4].

Aquí es su gráfica.

Mirando la gráfica, se observa que f tiene:

• Un máximo relativo a (0, 0);
• Un mínimo relativo a (1, - 1);
• Un máximo relativo a (4, 8).

Extremos absolutos

Sea otra vez
f(x) = x² - 2x,   con dominio [0, 4].

• Mirando a sus extremos relativos, observamos que:


• El máximo a (0, 0) no es un máximo absoluto;
• El mínimo a (1, -1) es un mínimo absoluto;
• El máximo a (4, 8) es un máximo absoluto.

Ubicando candidatos al extremos relativos

1. Vamos a mirar de nuevo la gráfica de f(x) = x² - 2x,   con dominio [0, 4].

- El máximo relativo a (0,0) es un punto extremo.

- El mínimo absoluto a (1,-1) es un punto estacionario.

- El máximo absoluto a (4,8) es un punto extremo.

Aceleración, concavidad, y la derivada segunda

Aceleración
Si t es tiempo en horas y la posición de un carro en el momento t es s(t) = t³ + 2t² km, entonces:

Velocidad = v(t) = s'(t) = 3t² + 4t km por hora.
Aceleración = a(t) = s" (t) = 6t + 4 km por hora por hora.

Concavidad
Considere f(x) = x³ - 3x, cuya gráfica se ve más abajo.

f"(x) = 6x es negativa cuando x < 0 y positiva cuando x > 0. La gráfica de f es cóncava hacia abajo cuando x < 0 y cóncava hacia arriba cuando x > 0. f tiene un punto de inflexión a x = 0, donde la segunda derivada es 0.

Análisis de las gráficas

Aquí está la gráfica de

F(x) = x² / (x+1)(x-2)

1. Las intersecciones en x y y Igualando y = 0 y despejando a x da x = 0. Ésta es la única intercesión de x. Igualandox = 0 y despejando a y da y = 0: la intercesión de y.

2. Extremos relativos Los únicos extremos son los puntos estacionarios ubicando igualando f'(x) = 0 y despejando a x, dando x = 0 y x = - 4. Los puntos correspondientes en la gráfica son el máximo relativo a (0, 0) y el mínimo relativo a (- 4, 8/9).

3. Puntos de inflexión Solucionar f"(x) = 0 analíticamente es difícil, entonces podremos solucionarla numéricamente (haciendo la gráfica de la derivada segunda y estimando donde cruza el eje x). Observamos que el punto de inflexión está a x ;≈ -6.1072.

4. Comportamiento cerca puntos donde no se está definida la función La función no está definida a x = - 1 y x = 2. Los limites cuando x se acerca a estos valores a la derecha y a la izquierda se podremos deducir de la gráfica:

x	lim →	-1-	f(x)	=	+∞
x	lim →	-1+	f(x)	=	-∞
x	lim →	2-	f(x)	=	-∞
x	lim →	2+	f(x)	=	+∞

5. Comportamiento al infinito Mirando la gráfica (o la función), observamos que

x	lim →	- ∞	f(x)	=	1
x	lim →	+∞	f(x)	=	1.